Question

（B题）设函数f（x）=ax 3 +bx 2 +cx+d，（a，b，c，d∈R）．（1）若f（x）=（1-2x） 3 ，求3a+2b+c-d的

（B题）设函数f（x）=ax 3 +bx 2 +cx+d，（a，b，c，d∈R）．（1）若f（x）=（1-2x） 3 ，求3a+2b+c-d的值；（2）若 a= 1 3 ，b＜0 ，y=f（x）在x=0处取得极值-1，且过点（0，0）可作曲线y=f（x）的三条切线，求b的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=（1-2x） 3 =ax 3 +bx 2 +cx+d， 对此等式两边同时求导数得：3（1-2x） 2 （-2）=3ax 2 +2bx+c， 令x=1得：3a+2b+c=-6，又由二项式定理知d=1 故3a+2b+c-d=-6-1=-7…（6分） （2）∵f′（x）=x 2 +2bx+c，由题意可得f′（0）=0，f（0）=-1，解得c=0，d=-1 经检验，f（x）在x=0处取得极大值．∴ f(x)= 1 3 x 3 +bx-1 …（8分） 设切点为（x 0 ，y 0 ），则切线方程为 y- y 0 = f ′ ( x 0 )(x- x 0 ) 即为 y=( x 20 +2b x 0 )x- 2 3 x 30 -b x 20 -1 …（9分） 因为切线方程为 y=( x 20 +2b x 0 )x- 2 3 x 30 -b x 20 -1 ， 把（0，0）代入可得 2 3 x 30 +b x 20 +1=0 ， 因为有三条切线，故方程 2 3 x 30 +b x 20 +1=0 有三个不同的实根．…（11分） 设 g(x)= 2 3 x 3 +b x 2 +1(b＜0) ∵g′（x）=2x 2 +2bx，令g′（x）=2x 2 +2bx=0，可得x=0和x=-b x （-∞，0） 0 （0，-b） -b （-b，+∞） g′（x） + 0 一 0 + g（x） 增 极大值 减 极小值 增 因为方程有三个根，故极小值小于零， 1 3 b 3 +1＜0 ，所以 b＜- 3 3 …（14分）