Question

已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC上，且AE=CF．（1）求证：D

已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC上，且AE=CF．（1）求证：DE=DF，DE⊥DF；（2）若AC=2，求四边形DECF面积．

Answer 1

解答：证明：（1）如图，连接CD．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠A=∠B=45°，
∵D为BC中点，
∴BD=CD，CD平分∠BCA，CD⊥AB．
∴∠DCF=45°，
在△ADE和△CFD中，

AE=CF ∠A=∠FCD AD=CD

，
∴△ADE≌△CFD（SAS），
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF．
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠CDF+∠EDC=∠EDF=90°，即DE⊥DF．

（2）∵△ADE≌△CFD，
∴S_△AED=S_△CFD，
∴S_{四边形CEDF}=S_△ADC，
∵D是AB的中点，
∴S_△ACD=

1

2

S_△ACB=

1

2

×2×2=2．
∴S_{四边形CEDF}=1．