Question

牛顿已经给出过证明：质量分布均匀的球壳对壳内放在任意位置的物体的万有引力为0．假设地球是一个圆球体

牛顿已经给出过证明：质量分布均匀的球壳对壳内放在任意位置的物体的万有引力为0．假设地球是一个圆球体且质量分布均匀，根据以上证明，如果测得地球球体内部某处的重力加速度大小是地球表面的重力加速度大小的23，则该处离地球表面的距离与地球球半径之比为（　　）A．13B．12C．23D．34

Answer 1

令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g=G

M

R2

，由于地球的质量为：M=ρ

4

3

πR3，所以重力加速度的表达式可写成：g＝

GM

R2

＝

Gρ 4 3 πR3

R2

＝

4

3

πGρR．
根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，离地球表面的距离为L的物体，受到地球的万有引力即为半径等于（R-L）的球体在其表面产生的万有引力，故井底的重力加速度g′=

4

3

πGρ(R?L)
所以有

g′

g

＝

R?L

R

＝1?

L

R

=

2

3

故

L

R

＝

1

3

故A正确、BCD错误．
故选：A．