Question

已知定义在实数集R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时， ． （Ⅰ）求函数f（x）在（

已知定义在实数集R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时， ． （Ⅰ）求函数f（x）在（﹣1，1）上的解析式；（Ⅱ）判断f（x）在（0，1）上的单调性；（Ⅲ）当λ取何值时，方程f（x）=λ在（﹣1，1）上有实数解？

Answer 1

（Ⅰ）解：∵f（x）是x∈R上的奇函数，∴f（0）=0. 设x∈（﹣1，0），则﹣x∈（0，1）， = =﹣f（x） ∴ ∴ （Ⅱ）证明：设0＜x 1 ＜x 2 ＜1，则 ， ∵0＜x 1 ＜x 2 ＜1， ∴ ， ， ∴f（x 1 ）﹣f（x 2 ）＞0 ∴f（x）在（0，1）上为减函数． （Ⅲ）解：∵f（x）在（0，1）上为减函数， ∴f（1）＜f（x）＜f（0）即 同理，f（x）在（﹣1，0）上时，f（x） 又f（0）=0 当 或 或λ=0时方程f（x）=λ在（﹣1，1）上有实数解．