Question

已知定义在实数集R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，f(x)＝2x4x+1．（Ⅰ）求函数f（x

已知定义在实数集R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，f(x)＝2x4x+1．（Ⅰ）求函数f（x）在（-1，1）上的解析式；（Ⅱ）判断f（x）在（0，1）上的单调性；（Ⅲ）当λ取何值时，方程f（x）=λ在（-1，1）上有实数解？

Answer 1

解答：（Ⅰ）解：∵f（x）是x∈R上的奇函数，∴f（0）=0．---------（1分）
设x∈（-1，0），则-x∈（0，1），
f(?x)＝

2?x

1+4?x

=

2x

1+4x

=-f（x）
∴f(x)＝ ?

2x

1+4x

---------（2分）
∴f(x)＝

? 2x 1+4x ，x∈(?1，0) 0，x＝0 2x 1+4x ，x∈(0，1)

---------（3分）
（Ⅱ）证明：设0＜x₁＜x₂＜1，
则f(x1)?f(x2)＝

(2x1?2x2)+(2x1+2x2?2x2+2x1)

(4x1+1)(4x2+1)

＝

(2x1?2x2)(1?2x1+x2)

(4x1+1)(4x2+1)

，------（4分）
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴2x1＜2x2，2x1+x2＞20＝1，---------（5分）
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x）在（0，1）上为减函数．---------（6分）
（Ⅲ）解：∵f（x）在（0，1）上为减函数，
∴f（1）＜f（x）＜f（0）即

2

5

＜f(x)＜

1

2

---------（7分）
同理，f（x）在（-1，0）上时，f（x）∈(?

1

2

，?

2

5

)---------（8分）
又f（0）=0
当λ∈(?

1

2

，?

2

5

)或(

2

5

，

1

2

)或λ=0时方程f（x）=λ在（-1，1）上有实数解．-----------------（10分）