Question

已知定义在实数集R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时， f(x)= 2 x 4 x +

已知定义在实数集R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时， f(x)= 2 x 4 x +1 ．（1）证明f（x）在（0，1）上为减函数；（2）求函数f（x）在[-1，1]上的解析式；（3）当λ取何值时，方程f（x）=λ在R上有实数解．

Answer 1

（1）证明：设 x 1 ， x 2 ∈(0，1)且 x 1 ＜ x  2  则 ， f( x 1 ) -f( x 2 )= 2 x 1 4 x 1 +1 - 2 x 2 4 x 2 +1 = 2 x 1 ( 4 x 2 +1) - 2 x 2 ( 4 x 1 +1) ( 4 x 1 +1)( 4 x 2 +1) = ( 2 x 2  - 2 x 1 )( 2 x 1 + x 2 -1)  ( 4 x 1 +1)( 4 x 2 +1) …（3分） ∵ 0＜ x 1 ＜ x  2 ＜1 ，∴ 2 x 2 ＞ 2 x 1  ， 2 x 1 + x 2 ＞1 ∴f（x 1 ）-f（x 2 ）＞0，即f（x 1 ）＞f（x 2 ）， ∴f（x）在（0，1）上为减函数．…（4分） （2）若x∈（-1，0）∴-x∈（0，1），∴ f(-x)= 2 -x 4 -x +1 ， 又∵f（x）为奇函数，∴ f(-x)= 2 -x 4 -x +1 =-f(x) ∴ f(x)=- 2 -x 4 -x +1 …（6分） 又∵f（-1）=f（1），且f（-1）=-f（1）∴f（1）=f（-1）=0 ∴ f(x)= 2 x 4 x +1   x∈(0，1) 0 x=0，±1 2 x 4 x +1 x∈(-1，0)    …（8分） （3）若x∈（0，1），∴ f(x)= 2 x 4 x +1 = 1 2 x + 1 2 x 又∵ 2 x + 1 2 x ∈(2， 5 2 ) ，∴ f(x)∈( 2 5 ， 1 2 ) ，…（10分） 若x∈（-1，0），∴ f(x)=- 2 x 4 x +1 =- 1 2 x + 1 2 x ∴ f(x)∈(- 1 2 ，- 2 5 ) ， ∴λ的取值范围是 {λ|λ=0，或- 1 2 ＜λ＜- 2 5 ，或 2 5 ＜λ＜ 1 2 } ．…12 分