Question

如图，在△ABC中，AC=BC，AB=8，CD⊥AB，垂足为点D．M为边AB上任意一点，点N在射线CB上（点N与点C不重合

如图，在△ABC中，AC=BC，AB=8，CD⊥AB，垂足为点D．M为边AB上任意一点，点N在射线CB上（点N与点C不重合），且MC=MN．设AM=x．（1）如果CD=3，AM=CM，求AM 的长；（2）如果CD=3，点N在边BC上．设CN=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果∠ACB=90°，NE⊥AB，垂足为点E．当点M在边AB上移动时，试判断线段ME的长是否会改变？说明你的理由．

Answer 1

（1）∵AC=BC，∴∠A=∠B．
∵AC=BC，CD⊥AB，
∴AD＝

1

2

AB＝4．
由勾股定理，得  AC＝

AD2+CD2

＝

42+33

＝5．
∵AM=CM，
∴∠A=∠ACM．
即得∠ACM=∠B．
∴△ACM∽△ABC．
∴

AM

AC

＝

AC

AB

．
∴

AM

5

＝

5

8

．即得  AM＝

25

8

．

（2）过点M作MF⊥BC，垂足为点F．
由  AM=x，得  BM=8-x．
∵MF⊥BC，CD⊥AB，
∴∠MFB=∠ADC=90°．
又∵∠A=∠B，
∴△MBF∽△ACD．
∴

BF

AD

＝

MB

AC

．即得  

BF

4

＝

8?x

5

．
∴BF＝

4

5

(8?x)．
∴CF＝BC?BF＝5?

4

5

(8?x)＝

4

5

x?

7

5

．
∵MC=MN，MF⊥BC，
∴CN＝2CF＝

8

5

x?

14

5

．
即得  y＝

8

5

x?

14

5

．
定义域为

7

4

＜x≤

39

8

；

（3）当点M在边AB上移动时，线段ME的长不变，ME=4．
由点N在射线CB上，可知点N在边BC上或点N在边CB的延长线上．
（ⅰ）如果点N在边BC上，可知点M在线段AD上．
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°．
又∵AC=BC，CD⊥AB，AB=8，
∴CD=BD=4．
即得∠BCD=45°．
∵MC=MN，
∴∠MCN=∠MNC．
∵∠MCN=∠MCD+∠BCD，∠MNC=∠B+∠BMN，
∴∠MCD=∠NME．
又∵CD⊥AB，NE⊥AB，
∴∠CDM=∠MEN=90°．
∴△MCD≌△MNE（A．A．S）．
∴ME=CD=4．
（ⅱ）如果点N在边CB的延长线上，可知点M在线段BD上，且点E在边AB的延长线上．
于是，由∠ABC=∠MNC+∠BMN=45°，
∠BCD=∠MCD+∠MCN=45°，
∠MCN=∠MNC，
得∠MCD=∠BMN．
再由  MC=MN，∠CDM=∠MEN=90°，
得△MCD≌△MNE（A．A．S）．
∴ME=CD=4．
∴由（ⅰ）、（ⅱ）可知，当点M在边AB上移动时，线段ME的长不变，ME=4．