Question

梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S 1 、

梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S 1 、S 2 、S 3 ，且S 1 +S 3 =9S 2 ，则CD=（ ） A.2.5AB B.3AB C.3.5AB D.4AB

Answer 1

D

解：如图，作AO∥BC交DC于O点，AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°， ∴AB=OC，AO=BC，∠DAO=90°， ∵以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形， ∴S 1 = AM×MD= AM 2 ， 根据勾股定理得：AM 2 +MD 2 =AD 2 ， ∵AM=MD， ∴2AM 2 =AD 2 ， ∴S 1 = ， 同理：∵S 2 =AN 2 ? ，2AN 2 =AB 2 ，∴S 2 = ， 同理：∵S 3 =BP 2 ? ，2BP 2 =BC 2 ，∴S 3 = ， ∵S 1 +S 3 =9S 2 ∴ ∴（DC-AB） 2 =9AB 2 ∴（CD-4AB）（CD+2AB）=0， ∴CD=4AB，CD=-2AB（不合题意，舍去） 故选D．