已知:函数f(x)=ax+bx+c(a、b、c是常数)是奇函数,且满足f(1)=52,f(2)=174,(Ⅰ)求a、b、c的
已知:函数f(x)=ax+bx+c(a、b、c是常数)是奇函数,且满足f(1)=52,f(2)=174,(Ⅰ)求a、b、c的值;(Ⅱ)试判断函数f(x)在区间(0,12)...
已知:函数f(x)=ax+bx+c(a、b、c是常数)是奇函数,且满足f(1)=52,f(2)=174,(Ⅰ)求a、b、c的值;(Ⅱ)试判断函数f(x)在区间(0,12)上的单调性并说明理由;(Ⅲ)试求函数f(x)在区间(0,+∞)上的最小值.
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(Ⅰ)∵函数f(x)是奇函数,则f(-x)+f(x)=0
即-ax-
+c+ax+
+c=0∴c=0
由f(1)=
,f(2)=
,得a+b=
,2a+
=
解得a=2,b=
∴a=2,b=
,c=0
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=2x+
,∴f′(x)=2-
当x∈(0,
)时,0<2x2<
,
>2
∴f′(x)<0,即函数f(x)在区间(0,
)上为减函数.
(Ⅲ)由f′(x)=2-
=0,x>0得x=
∵当x>
,
<2,
∴f′(x)>0,
即函数f(x)在区间(
,+∞)上为增函数.在(0,
)上为减函数.
所以f(x)的最小值=f(
)=2.
即-ax-
b |
x |
b |
x |
由f(1)=
5 |
2 |
17 |
4 |
5 |
2 |
b |
2 |
17 |
4 |
1 |
2 |
∴a=2,b=
1 |
2 |
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=2x+
1 |
2x |
1 |
2x2 |
当x∈(0,
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2x2 |
∴f′(x)<0,即函数f(x)在区间(0,
1 |
2 |
(Ⅲ)由f′(x)=2-
1 |
2x2 |
1 |
2 |
∵当x>
1 |
2 |
1 |
2x2 |
∴f′(x)>0,
即函数f(x)在区间(
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2 |
1 |
2 |
所以f(x)的最小值=f(
1 |
2 |
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