Question

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5=9，S10=100（1）求数列{an}的通项公式；（2）记数列{Snn}的前n项

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5=9，S10=100（1）求数列{an}的通项公式；（2）记数列{Snn}的前n项和为Tn，数列{1Sn+1?Tn+1}的前n项和为Un，求证：Un＜2．

Answer 1

解答：（1）解：∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₅=9，S₁₀=100，
∴

a1+4d＝9 10a1+ 10×9 2 d＝100

，解得a₁=1，d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）证明：由（1）知S_n=n+

n(n?1)

2

d=n²．
∴

Sn

n

＝n，∴Tn＝1+2+…+n＝

n(n+1)

2

，
∴

1

Sn+1?Tn+1

=

1

(n+1)2? (n+1)(n+2) 2

=

1

n 2 (n+1)

=2（

1

n

?

1

n+1

），
∴U_n=2（1-

1

2

+

1

2

?

1

3

+…+

1

n

?

1

n+1

）
=2（1-

1

n+1

）
=2-

2

n+1

＜2．