Question

一球的半径为r，作外切于球的的正圆锥，试将其体积表示为高的函数，并说明定义域。

Answer 1

设圆锥的高为h,底面半径为R,体积为V,则有 √[(h-r)^2-r^2]/r=h/R R=hr/√[(h-r)^2-r^2] V=∏R^2h/3=∏h^3r^2/3(h^2-2hr) ,(h>2r)

Answer 2

设圆锥底半径R，高H，则圆锥对称轴截面三角形面积 = ½ × r × [√(R²+H²) + √(R²+H²) + 2R] = ½×2R×H
∴r²(R²+H²) + r²R² = 2r²R² + r²H² = R²H²
∴R²(H²-2r²)=r²H²
R²=r²H²/(H²-2r²)
又∵圆锥体积V=(1/3)πR²H
∴V = (1/3) × π × [r²H²/(H²-2r²)] × H = (1/3)πr²H³/(H²-2r²)
即V(H)=(1/3)πr²H³/(H²-2r²)
∵V(H)>0
∴H²-2r²>0
∴H > √2 r
函数V(H)定义域为(√2 r，+∞)