Question

如何证明一个数是有理数

要证明过程
或者证明不是有理数

Answer 1

例子：证明根号2是无理数。

证明：若根号2是有理数，则设它等于m/n（m、n为不为零的整数，m、n互质）

所以 （m/n）^2=根号2 ^2 =2

所以 m^2/n^2=2

所以 m^2=2*n^2

所以 m^2是偶数，设m=2k（k是整数）

所以 m^2=4k^2=2n^2

所以 n^2=2k^2

所以 n是偶数

因为 m、n互质

所以 矛盾

所以 根号2不是有理数，它是无理数。

扩展资料：

无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。

无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，而有理数由所有分数，整数组成，总能写成整数、有限小数或无限循环小数，并且总能写成两整数之比，如21/7等。

参考资料：百度百科-无理数

Answer 2

应该说，证明或否定一个数x是有理数，没有固定的办法，必须就事论事。
最初等的办法，就是设x是个有理数，例如x=m/n，m是整数，n是正整数（m的正负与x相同），且m和n互质。由此去推理，如果能求出m和n，则x是有理数；如果推出矛盾，则x是无理数。
例如√2的无理性就是这么证明的（两边平方，……，发现m和n又有公因子了），我们都会了。
再比如，像0.101001000100001...这个数的无理性，我们是设它的循环节有n位来导出矛盾的。

然而，此方法并不是万能的。例如π和e（自然对数的底）的无理性，用上述办法证明是几乎不可能的。所以它们的无理性都有各自的证法。

再比如，e^π（e的π次方）这个数，是否是无理数争议了很久。就是因为无法去证明或否定。

事实上，无理数远比想象的多，不存在一个一般的证法去证明或否定一切数是否是有理数。

Answer 3

任何一个有理数都可以在数轴上表示。

有理数包括(整数,有限小数,无限循环小数)
无理数指无限不循环小数
特别要注意的是无限循环小数 很多人常误以为它属于无理数
等到了高中{有理数}={分数}={循环小数}

有理数包括：
1）自然数：数0，1，2，3，……叫做自然数。
2）正数：比0大的数叫做正数。
3）负数：在正数前面加上“—”（读作“负”）号的数叫做负数。负数都小于0。
4）整数：正整数、0、负整数统称为整数。
5）分数：正分数、负分数统称为分数。
6）奇数：不是2的倍数的整数叫做奇数。如-3，-1，1，5等。所有的奇数都可用2n-1或2n+1表示，n为整数。
7）偶数：是2的倍数的整数叫做偶数。如-2，0，4，8等。所有的偶数都可用2n表示，n为整数。
8）质数：如果一个大于1的整数，除了1和它本身外，没有其他因数，这个数就称为质数，又称素数，如2，3，11，13等。2是最小的质数。
9）合数：如果一个大于1的整数，除了1和它本身外，还有其他因数，这个数就称为合数，如4，6，9，15等。4是最小的合数。
10）互质数：如果两个正整数，除了1以外没有其他因数，这两个整数称为互质数，如2和5，9和13等。 …… 如3，-98.11，5.72727272……，7/22都是有理数。
全体有理数构成一个集合，即有理数集，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示。
有理数集是实数集的子集。相关的内容见数系的扩张。
有理数集是一个域，即在其中可进行四则运算（0作除数除外），而且对于这些运算，以下的运算律成立（a、b、c等都表示任意的有理数）：
①加法的交换律 a+b=b+a；
②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c；
③存在数0，使 0+a=a+0=a；
④对任意有理数a，存在一个加法逆元，记作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0；
⑤乘法的交换律 ab=ba；
⑥乘法的结合律 a(bc)=(ab)c；
⑦乘法的分配律 a(b+c)=ab+ac。
存在乘法的单位元1≠0，使得对任意有理数a，1a=a；
对于不为0的有理数a，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1。
0a＝0 文字解释：一个数乘0还等于0。
此外，有理数是一个序域，即在其上存在一个次序关系≤。 0的绝对值还是0.
有理数还是一个阿基米德域，即对有理数a和b，a≥0，b>0，必可找到一个自然数n，使nb>a。由此不难推知，不存在最大的有理数。
值得一提的是有理数的名称。“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是（rational number），而（rational）通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为（ratio），就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。与之相对，而“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理。

Answer 4

这个很难的。需要引入数域的概念。
数域是在大学才会接触到的。

证明是有理数，而且在一个封闭的数域Z内部，所有的运算（加减乘除），所得到的结果都在数域Z的内部，才可以。

所以是有一定难度系数。逻辑要求是比较高的。

Answer 5

只要可以证明出这个数可用分数的形式表示，并且分子分母都是有理数