高等数学,关于极限中无穷小量省略问题,我做了如下证明,感觉可以说明两个量相加时,高阶无穷小量可以省
高等数学,关于极限中无穷小量省略问题,我做了如下证明,感觉可以说明两个量相加时,高阶无穷小量可以省略。但是有出现了新问题。。。。求解答!...
高等数学,关于极限中无穷小量省略问题,我做了如下证明,感觉可以说明两个量相加时,高阶无穷小量可以省略。但是有出现了新问题。。。。求解答!
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答:
1、首先,虽然limα(x)=limβ(x)=0,但是用β(x) = o[α(x)]就是错的!因为,β(x)和α(x)是否是同阶无穷小就不知道,怎么能用其中一个表示另一个呢?万一,α(x)是比β(x)高阶呢?
2、其次,你自己也说了是等价无穷小,而不是等于无穷小,等价无穷小之间是“~”不是“=”,因此,你的等式根本就不能成立!实际上,等价无穷小是替换,不是等于,因此:等价无穷小不能四则运算!例如:α1(x)~α2(x),而β1(x)~β2(x),那么:
α1(x)+β1(x) ≠ α2(x)+β2(x),因为,α1(x)~α2(x)是在x→0时,两者有同向、同等的趋近于0的趋势,但是两者绝不是等于的关系!
3、在求极限中,我们关心的是因变量趋近于0的趋势,因此才能替换!所以,α1(x)·β1(x) ~ α2(x)·β2(x)是成立的,而α1(x)·β1(x) = α2(x)·β2(x)也是错误的!
4、同理:α1(x)+β1(x) ~ α2(x)+β2(x)也是错误的!
1、首先,虽然limα(x)=limβ(x)=0,但是用β(x) = o[α(x)]就是错的!因为,β(x)和α(x)是否是同阶无穷小就不知道,怎么能用其中一个表示另一个呢?万一,α(x)是比β(x)高阶呢?
2、其次,你自己也说了是等价无穷小,而不是等于无穷小,等价无穷小之间是“~”不是“=”,因此,你的等式根本就不能成立!实际上,等价无穷小是替换,不是等于,因此:等价无穷小不能四则运算!例如:α1(x)~α2(x),而β1(x)~β2(x),那么:
α1(x)+β1(x) ≠ α2(x)+β2(x),因为,α1(x)~α2(x)是在x→0时,两者有同向、同等的趋近于0的趋势,但是两者绝不是等于的关系!
3、在求极限中,我们关心的是因变量趋近于0的趋势,因此才能替换!所以,α1(x)·β1(x) ~ α2(x)·β2(x)是成立的,而α1(x)·β1(x) = α2(x)·β2(x)也是错误的!
4、同理:α1(x)+β1(x) ~ α2(x)+β2(x)也是错误的!
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最后那个根号x求极限的做法似乎也是错误的。0比0型的,需要用到洛必达法则,而不是简单因为分子是0,就得出0的结论。况且,我不太明白,如果根号x在分子端和分母端都一样,就可以约分掉了,为什么还要曲折一下?
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你在忽略x的时候不应该先考虑一下分母的感受吗
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哈哈,有意思
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