Question

代数 生成子空间的问题 求大神解答

题目意思是 这三个向量的生成子空间是什么 求大神告诉我怎么么判断答案是R^3 如果选 A B C的时候情况应该是怎么样的

Answer 1

这就是向量的线性相关性问题。
那三个向量组成的矩阵的行列式为 -1， 不为0，故线性无关，因此张成三维空间。
如果其极大无关组包含 n 个向量（n <= 3), 那就张成 n 维空间。A 是1 维，B 是2 维，D 是3 维。

追问

可以这样理解吗 A对应只有一个非零行 B对应有两个非零行。

追答

如果”非0行“ 指的是非0向量的话：
A. 至少存在一个非0向量，而且其他向量或者为0，或者与之共线
B. 至少存在两个非0向量，这两个向量线性无关（在这里等价于不共线），而第三个向量可以由前两个线性表示
这里”共线“指的是 对非0向量a、b，存在非0 标量 k，使 a = k * b 。

追问

您的意思 我大概懂了 是不是就是三个向量所在的列都有每行的非零首元在 所以答案是D 对吧？ 请问下我这样想可不可以 把三个向量 列成一个矩阵
1 2 1
0 -1 -1 然后用初等行变化 去消 消到最后 如果只有一个零行就是 A 还有两个非零行就是 B
-1 0 2

这样理解可以吗

追答

因为列秩等于行秩，初等行变换是可以的，不过初等列变换看起来更直接些。结论一样。