Question

求解这个题，急急急。f(x)=(a/2)x^2+(a-1）x-lnx(a>0)

已经解答

Answer 1

f(x)=(a/2)x²+(a-1)x-lnx 定义域x>0
f'(x)=ax+a-1-1/x
由导数的几何意义，切线的斜率k=f'(1)=2a-2,与x+2y=0（斜率=-½）垂直
∴2a-2=2→a=2
∴f(x)=x²+x-lnx
f(1)=2,切点(1,2),斜率=2
∴L：y-2=2(x-1)
(2)f'(x)=ax+a-1-1/x=[ax²+(a-1)x-1]/x
驻点：x=[1-a±√(a+1)²]/2a
x₁=1/a x₂=-1(不在定义域内，舍去）
f''(x)=[2ax²+(a-1)x-ax²-(a-1)x+1]/x²=(ax²+1)/x²>0
∴驻点为极小值点
∴当f(1/a)=1/2a+1-1/a+lna≥½时，不等式恒成立
令f(a)=lna-1/2a+½
f'(a)=1/a+1/2a²>0
∴f(a)是增函数
∵f(1)=0
∴a≥1

Answer 2

①. x+2y=0的斜率k=-1/2，切线与它垂直，因此切线的斜率=2.
f(x)=(a/2)x²+(a-1)x-lnx, (a>0)
函数f(x)的定义域：x>0；f(1)=(a/2)+a-1=(3/2)a-1;
f '(x)=ax+a-1-(1/x)
f '(1)=a+a-1-1=2a-2=2，∴a=2. 故f(1)=(3/2)-1=1/2.
∴过(1，f(1))的切线L的方程为 y=2(x-1)+1/2=2x-(3/2)
②。f(x)=(a/2)x²+(a-1)x-lnx≧1/2恒成立，求a的最小值。
令f '(x)=ax+(a-1)-(1/x)=0
ax²+(a-1)x-1=(ax-1)(x+1)=0
故得驻点x₁=1/a；x₂=-1. ∵已知a>0，∴x₁>x₂；
故 x₂=-1是极大点，x₁=1/a是极小点。
要使f(x)=(a/2)x²+(a-1)x-lnx≧1/2恒成立，必须使f(x)的极小值≧1/2，
即f(1/2)=a/8+(a-1)/2-ln(1/2)=(5/8)a-2+ln2≧1/2
(5/8)a≧5/2-ln2；a≧(8/5)(5/2-ln2)=4-(8/5)ln2
即a的最小值=4-(8/5)ln2