Question

这道极限怎么求

Answer 1

预备知识是定积分的精确定义，没学过可以先了解一下（应该学过）

又有那一段分母应该是放大到n+1/n (第二项笔误)

追问

你确认你的解法没问题吗？

Answer 2

解：
分析：原式是级数求和式，这种分式，一般结合定积分，放缩等技巧！
令：Sn = Σ(k→1:n) sin(kπ/n)/[n+(1/k)]
Sn
= Σ(k→1:n) sin(kπ/n)/n[1+(1/nk)]
=Σ(k→1:n) (1/n)·sin(kπ/n)/[1+(1/nk)]
对于 1/[1+(1/nk)]：
∵

1/[1+(1/nk)]
=n/[(1/k)+n]
又∵
1≤k≤n
1/n≤1/k≤1
n+(1/n)≤1/k+n≤n+1
n/(n+1)≤n/[(1/k)+n]≤n/[n+(1/n)]
n/(n+1)≤n/[(1/k)+n]≤n²/(n²+1)
Σ(k→1:n) [n/(n+1)]·(1/n)·sin(kπ/n)≤Sn≤Σ(k→1:n) [n²/(n²+1)]·(1/n)·sin(kπ/n)
显然：
lim(n→∞) Σ(k→1:n) [n/(n+1)]·(1/n)·sin(kπ/n)
=lim(n→∞) n/(n+1) ·lim(n→∞) Σ(k→1:n)sin(kπ/n)
=lim(n→∞) n/(n+1) ·∫(0,1) sinπxdx
=∫(0,1) sinπxdx
=2/π
lim(n→∞) Σ(k→1:n)[n²/(n²+1)]·(1/n)·sin(kπ/n)
=lim(n→∞) n²/(n²+1)·lim(n→∞) Σ(k→1:n)(1/n)·sin(kπ/n)
=lim(n→∞) n²/(n²+1) ·∫(0,1) sinπxdx
=2/π
因此：
根据夹逼准则：
原极限=2/π