Question

高中数学导数题求解

Answer 1

(1)f'(x)=2xe^(ax)+x²·ae^(ax)=(2x+ax²)e^(ax).
情形1：a=0时，令f'(x)=2x=0，得x=0.
x<0时，f'(x)<0，f(x)单调递减；x>0时，f'(x)>0，f(x)单调递增.
情形2：a≠0时，令f'(x)=(2x+ax²)e^(ax)=0，得x=0或x=-2/a.
①a>0，
x<-2/a时，f'(x)>0，f(x)单调递增；
-2/a<x<0时，f'(x)<0，f(x)单调递减；
x>0时，f'(x)>0，f(x)单调递增.
②a<0,
x<0时，f'(x)<0，f(x)单调递减；
0<x<-2/a时，f'(x)>0，f(x)单调递增；
x>-2/a时，f'(x)<0，f(x)单调递减.

Answer 2

第一题没啥讲的，分类讨论就行，第二题过程如图。

Answer 3

f(x) = x^2 e^(ax) - 1,
(1) a = 0 时，f(x) = x^2 - 1， f'(x) = 2x, 得驻点 x = 0；
f(x)单调减少区间是 x∈(-∞, 0), 单调增加区间是 x∈(0, +∞).
a ≠ 0 时, f'(x) = 2xe^(ax) + ax^2 e^(ax) = x(2+ax)e^(ax)
得驻点 x = 0， x = -2/a
f''(x) = 2e^(ax) + 4axe^(ax) + a^2x^2e^(ax) = (2+4ax+a^2x^2)e^(ax)
f''(0) = 2 > 0, x = 0 是极小值点，
f''(-2/a) = -2/e^2 < 0, x = -2/a 是极大值点。
当 a > 0 时， f(x)单调增加区间是 x∈(-∞, -2/a)∪(0, +∞), 单调减少区间是 x∈(-2/a, 0);
当 a < 0 时， f(x)单调增加区间是 x∈(0, -2/a) , 单调减少区间是 x∈(-∞, 0)∪(-2/a, +∞).