Question

n元齐次线性方程组有非零解的充要条件为什么不用系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩

Answer 1

举个简单的例子，二元一次方程组： x+y=1，x+y=2，你可以明显看出来这个方程组是无解的。现在用线性代数的方法去求解，下面是该方程组的增广矩阵： 1 1 1 1 1 2 初等行变换之后变成： 1 1 1 0 0 1 系数矩阵秩为1，增广矩阵秩为2，不等，所以无解。什么意思呢？简单来说，这里的增广矩阵和系数矩阵，差了这样的方程0x+0y=1，很明显对于任何x、y都不可能有0x+0y=1成立，所以是无解的。那么对于n元1次方程组，增广矩阵和系数矩阵如果秩不等，假定差值为r，那么就差了r个方程：0x1+0x2+……+0xn=A（非零常数），所以对于任何x1……xn都不会让以上r个式子成立，所以方程组无解。

Answer 2

首先增广矩阵的秩一定不小于系数矩阵的秩（因为这只不过是增加了一个列向量）。若增广矩阵的秩大于系数矩阵，则可通过高斯消去法将系数对角化，这将有0=b≠0的情况，矛盾！此时方程无解。若秩相等，方程有解很容易证明且解空间为齐次方程解空间关于某个解向量的平移。