Question

已知函数f(x)=ex-ln(x+m),当m《=2时,证明f(x)>0

Answer 1

证明：
f(x)=e^x-ln(x+m)，x+m>0，x>-m
求导得：
f'(x)=e^x-1/(x+m)
令f'(x)=0，即e^x=1/(x+m)>0，假设x=a>-m满足e^a=1/(a+m)。
所以：a+m=e^(-a)
当-m
a时，f'(x)>0，f(x)是增函数。
所以：x=a>-m是f(x)的最小值点，f(x)>=f(a)=e^a-ln(a+m)
f(a)=e^a-ln(a+m)
=e^a-ln[e^(-a)]
=e^a+a
=e^a+e^(-a)-m
>=2-m
>=0
所以：f(x)>=f(a)>=0
严格意义上来说，m<=2时，应该是f(x)>=0；m<2时，f(x)>0。
题目存在不严谨的地方。

Answer 2

证明：
f(x)=e^x-ln(x+m)，x+m>0，x>-m
求导得：
f'(x)=e^x-1/(x+m)
令f'(x)=0，即e^x=1/(x+m)>0，假设x=a>-m满足e^a=1/(a+m)。
所以：a+m=e^(-a)
当-m<x<a时，f'(x)<0，f(x)是减函数；
当x>a时，f'(x)>0，f(x)是增函数。
所以：x=a>-m是f(x)的最小值点，f(x)>=f(a)=e^a-ln(a+m)
f(a)=e^a-ln(a+m)
=e^a-ln[e^(-a)]
=e^a+a
=e^a+e^(-a)-m
>=2-m
>=0
所以：f(x)>=f(a)>=0
严格意义上来说，m<=2时，应该是f(x)>=0；m<2时，f(x)>0。
题目存在不严谨的地方。