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已知函数f(x)=|lnx|,g(x)=0,0<x≤1,|x平方-4|-2,x>1, 求丨f(x)
已知函数f(x)=|lnx|,g(x)=0,0<x≤1,|x平方-4|-2,x>1,求丨f(x)+g(x)丨=1的跟的个数...
已知函数f(x)=|lnx|,g(x)=0,0<x≤1,|x平方-4|-2,x>1,
求丨f(x)+g(x)丨=1的跟的个数 展开
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原题是:已知函数f(x)=|lnx|
g(x)={0 (0<x≤1)
{|x^2-4|-2 (x>1)
求|f(x)+g(x)|=1的根的个数.
解:设F(x)=f(x)+g(x)
F(x)={-lnx (0<x≤1)
{lnx-x^2+2 (1<x≤2)
{lnx+x^2-6 (x>2)
当x∈(0,1]时
F‘(x)=-1/x<0,F(x)在其上单减,值域是[0,+∞)
当x∈(1,2]时
F‘(x)=(1/x)-2x<0,F(x)在其上单减,值域是[-2+ln2,1)
当x∈(2,+∞)时
F‘(x)=(1/x)+2x>0,F(x)在其上单增,值域是[-2+ln2,+∞)
作出F(x)的大致图象。
|f(x)+g(x)|=1的根
即F(x)=-1或F(x)=1的根
观察y=F(x)的图象与y=-1的交点因-2+ln2<-1可得:
F(x)=-1在(1,2]和(2,+∞)上各有一个根,即2个;
观察y=F(x)的图象与y=1的交点可得:
F(x)=1在(0,1)和(2,+∞)上各有一个根,即2个;
所以|f(x)+g(x)|=1的根有4个
希望能帮到你!
g(x)={0 (0<x≤1)
{|x^2-4|-2 (x>1)
求|f(x)+g(x)|=1的根的个数.
解:设F(x)=f(x)+g(x)
F(x)={-lnx (0<x≤1)
{lnx-x^2+2 (1<x≤2)
{lnx+x^2-6 (x>2)
当x∈(0,1]时
F‘(x)=-1/x<0,F(x)在其上单减,值域是[0,+∞)
当x∈(1,2]时
F‘(x)=(1/x)-2x<0,F(x)在其上单减,值域是[-2+ln2,1)
当x∈(2,+∞)时
F‘(x)=(1/x)+2x>0,F(x)在其上单增,值域是[-2+ln2,+∞)
作出F(x)的大致图象。
|f(x)+g(x)|=1的根
即F(x)=-1或F(x)=1的根
观察y=F(x)的图象与y=-1的交点因-2+ln2<-1可得:
F(x)=-1在(1,2]和(2,+∞)上各有一个根,即2个;
观察y=F(x)的图象与y=1的交点可得:
F(x)=1在(0,1)和(2,+∞)上各有一个根,即2个;
所以|f(x)+g(x)|=1的根有4个
希望能帮到你!
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追问
我擦,下面一个人说有三个,你怎么变四个
追答
这是一个详细的解答过程,你仔细阅读并作出F(x)的大致图象即可得到正确结果.
对这类分段函数,首先要准确分段,再分析各段上函数的结构,最后用结构解答要解决的问题.
2015-06-08
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已知函数f(x)=|lnx|,
g(x)=0, 0<x≤1,
|x平方-4|-2,x>1,
求丨f(x)+g(x)丨=1的跟的个数
(1) 0<x≤1,
丨f(x)+g(x)丨=1
x=1/e
(2) x>1
|lnx+|x平方-4|-2|=1
|lnx/e^2+|x平方-4||=1
(21) x>e
|lnx/e^2+|x平方-4||=1
无解
(22) 1<x<=e
x=2, lnx/e^2+|x平方-4||=ln2-2<-1
一解
2<x<e,lnx/e^2+|x平方-4||>1
一解
综合 有3个根
g(x)=0, 0<x≤1,
|x平方-4|-2,x>1,
求丨f(x)+g(x)丨=1的跟的个数
(1) 0<x≤1,
丨f(x)+g(x)丨=1
x=1/e
(2) x>1
|lnx+|x平方-4|-2|=1
|lnx/e^2+|x平方-4||=1
(21) x>e
|lnx/e^2+|x平方-4||=1
无解
(22) 1<x<=e
x=2, lnx/e^2+|x平方-4||=ln2-2<-1
一解
2<x<e,lnx/e^2+|x平方-4||>1
一解
综合 有3个根
追问
哇,难道我真写对了?你确定你做对吗
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第三个条件不明确
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追问
哪个,g(x)是复合函数
追答
可以分区间一个一个的代人,如0<x≤1时
|f(x)+g(x)|=1即|lnx∣=1所以有唯一一个根x=e
当x<1时再代人
|f(x)+g(x)∣=∣|lnx|+∣x²-4∣-2|=1
再分1<x≤2, 2<x≦e,
e<x<+∞讨论得出,这里打字麻烦,就不详细写出结果了
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