Question

急!数学题:已知函数f(x)=lnx-1/2ax的平方-2x

(1)若函数f(x)在定义域内单调递增，求a的取值范围？(2)若a=-1/2，且关于的方程f(x)=-1/2x+b在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围？

Answer 1

解：1)
f(x)=lnx-(1/2)ax^2-2x
,(x>0)
求导f'(x)=1/x-ax-2=(-ax^2-2x+1)/x,
若函数f(x)在定义域内单调递增,则有f'(x)>=0，且f'(x)不恒为0得
-ax^2-2x+1>=0，即ax^2+2x-1<=0,
显然a≠0，于是a<0,判别式△=4+4a<=0
解得a<=-1。
2)
f(x)=-1/2x+b在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，整理即方程
b=lnx-(1/2)ax^2-(3/2)x
,(x>0)
在[1,4]上恰有两个不相等的实数根。
此问题等价于直线y=b与曲线h(x)=lnx+(1/4)x^2-(3/2)x
,(x>0)在[1,4]上恰有两个不同交点的讨论。
求导h'(x)=1/x+(1/2)x-3/2=(x-2)(x-1)/(2x),
当1<x<2,h'(x)<0,h(x)单减。
当2<x<=4,h'(x)>0,h(x)单增。
易得极小值h(x)=h(2)=ln2-2,且此极小值必为其最小值。
极大值h(x)=h(1)=1/4-3/2=-5/4,又h(4)=2ln2-2>h(1),得ln2-2=<h(x)<=2ln2-2,(1=<x<=4)
大致做出h(x)草图（U型），并用y=b去截h(x)图，
易得两图像恰有两个交点得b的取值范围为(ln2-2,-5/4].