Question

已知函数f(x)=ax^2+lnx,f1(x)=1/2x^2+2ax,a∈R.

(1)求证：函数f(x)在点(1.f(1))处的切线恒过定点，并求出定点坐标。
(2)若关于x的方程f1(x)仅有一根在区间(-1,1)内，求a的取值范围。
(3)若f(x)<f1(x)在区间(1,+∞)上恒成立，求a的取值范围。

Answer 1

解答如下：
证明:1.当x=1时，f(1)=a
又f'（x）=2ax+1/x
所以f'（1）=2a+1
所以函数f(x)在点(1.f(1))处的切线方程为y=(2a+1 )(x-1)+a=(2x-1)a+x-1
过定点（1/2,-1/2)
(2)解：因为f1(x)=1/2x^2+2ax=0在区间(-1,1)内仅有一根
所以f1(-1)*f1(1)<=0或是△=0
解得：a>=1/4或a<=-1/4或a=0
(3)解答：不妨设：h(x)=f1(x)-f(x)=(1/2-a)x^2+2ax-Inx
则：须证明0<h(x)在区间(1,+∞)上恒成立
h'（x)=(1+1/x-2a)(x-1) h'（1)=0 h(1)=1/2+a
由于0<h(x)在区间(1,+∞)上恒成立
所以h(1)>=0 且1+1/x-2a>=0其中（x>1)
所以-1/2<=a<=1