Question

设函数f(x)=lnx，g(x)=f(x)+f'(x).

设函数f(x)=lnx，g(x)=f(x)+f'(x).(1)求g(x)的单调区间和最小值(2)讨论g(x)与g(1/x)的大小关系(3)求a的取值范围，使得g(a)-g(x)<1/a对任意x>0成立。

Answer 1

f'(x)=1/x
g(x)=lnx+1/x
(1)
g'(x)=1/x-1/x^2 零点为：x=1
在区间（0，1）上，g'(x)<0 g(x)单调减少，
在区间(1,正无穷）上，g'(x)>0, g(x)单调增加，
最小值为g(1)=ln1+1/1=1
(2)
h(x)=g(x)-g(1/x)=2lnx+1/x-x
h'(x)=-(x-1)^2/x^2<0
h(x)单减
又h(1)=0
有（0，1）上h(x)>0,即g(x)>g(1/x)
x=1,g(x)=g(1/x)
(1,+∞)上，g(x)<g(1/x)
(3)
设u(x)=g(a)-g(x)-1/a
u(x)=lna-lnx-1/x
u'(x)=(1-x)/x^2
当0<x<1时，u'(x)>0,u(x)单增，
要使u(x)<0,则使u(1)<0
lna-ln1-1/1<0
则a<e
当x=1时，u(1)<0，则a<e
当x>1时，u'(x)<0,u(x)单减，
要使u(x)<0,则使u(1)<0
lna-ln1-1/1<0
则a<e
综上：a<e

希望能帮到你，祝学习进步O(∩_∩)O,也别忘了采纳！

Answer 2

g(x)=lnx+1/x(x>0)。
(1)g'(x)=1/x-1/x^2=(x-1)/x^2
在(0,1]上g'(x)<0，g(x)为减函数；在[1,+∞)上，g'(x)>0，g(x)为增函数。
g(x)的极小值(也是最小值)是g(1)=1。
(2)g(1/x)=ln(1/x)+x=x-lnx。设F(x)=g(x)-g(1/x)=2lnx+1/x-x。
F'(x)=2/x-1/x^2-1=-(x-1)^2/x^2<=0，所以函数F(x)在(0,+无穷)上单调递减。
而F(1)=0，所以，当0<x<1时，F(x)<0，即g(x)<g(1/x)；当x>1时，F(x)>0，即g(x)>g(1/x)。
(3)g(a)-g(x)=lna+1/a-lnx-1/x<1/a，lna<lnx+1/x=g(x)。
由(1)可知，g(x)>=g(1)=1，所以lna<1，a<e。

Answer 3

)f'(x)=1/x
g(x)=lnx+1/x
g'(x)=1/x-1/x^2=(x-1)/x^2=0, x=1
x<1, g'<0， 单调减区间
x>1, g'>0， 单调增区间
最小值在X=1时，g(1)=1
2)g(1/x)=-lnx+x
y=g(x)-g(1/x)=2lnx+1/x-x
y'=2/x-1/x^2-1=(2x-1-x^2)/x^2=-(x-1)^2/x^2<=0
因此有g(x)<=g(1/x)
3) g(a)=lna+1/a
g(x)=lnx+1/x
y=g(a)-g(x)-1/a=lna+1/a-lnx-1/x-1/a=lna-lnx-1/x<0, 恒小于0（当X>0时）
y'=-1/x+1/x^2=(1-x)/x^2
x<1时为增函数，x>1时为减函数，X=1为极大值,此极大值需小于0
y(1)=lna-0-1<0, lna<1
即0<a<e 综上：a<e 提醒你^为几次方，/为几分之几。

Answer 4

f'(x)=1/x
g(x)=lnx+1/x
g'(x)=1/x-1/x^2 零点为：x=1
在区间（0，1）上，g'(x)<0g(x)单调减少，
在区间(1,正无穷）上，g'(x)>0,g(x)单调增加，
最小值为g(1)=ln1+1/1=1

x=1时，x=1/x,g(x)=g(1/x)
x<>1时,作差=lnx+1/x-ln(1/x)-x=2lnx-x+1/x
讨论x的范围

Answer 5

解：
g(x)=lnx+1/x,x>0
1) g'(x)=1/x-1/x²
显然,在(0,1]上,g(x)为减函数,在[1,+∞)上,为增函数.
在x=1处,取得最小值1
2) 根据函数的单调性：当x∈(0,1],g(x)单调减，而g(1/x)单调增，g(x)>g(1/x)
当x∈[1,+∞) g(x)>g(1/x)
3) 要保证恒成立，就必须使得函数的最小值大于g(a)-1/a,即g(1)>g(a)-1/a,解得a<e