Question

设函数 f(x)=lnx，g(x)=ax+ b x ，它们的图象在x轴上的公共点处有公切线，则当x＞1时，f（x）

设函数 f(x)=lnx，g(x)=ax+ b x ，它们的图象在x轴上的公共点处有公切线，则当x＞1时，f（x）与g（x）的大小关系是（　　） A．f（x）＞g（x） B．f（x）＜g（x） C．f（x）=g（x） D．f（x）＞g（x）与g（x）的大小不确定

Answer 1

f（x）与x轴的交点′（1，0）在g（x）上， 所以a+b=0，在此点有公切线，即此点导数相等， f′（x）= 1 x ，g′（x）=a- b x 2 ， 以上两式在x=1时相等，即1=a-b， 又因为a+b=0， 所以a= 1 2 ，b=- 1 2 ， 即g（x）= x 2 - 1 2x ，f（x）=lnx， 定义域{x|x＞0}， 令h（x）=f（x）-g（x）=lnx- x 2 + 1 2x ， 对x求导，得h′（x）= 1 x - 1 2 - 1 2 x 2 = 2x- x 2 -1 2 x 2 =- (x-1) 2 2 x 2 ∵x＞1 ∴h′（x）≤0 ∴h（x）在（1，+∞）单调递减，即h（x）＜0 ∴f（x）＜g（x） 故选B．