Question

已知函数f（x）=Inx，g（x）=1/2x²-bx函数f(x)的图像在点（1，f(1)）处的切线与

已知函数f（x）=Inx，g（x）=1/2x²-bx函数f(x)的图像在点（1，f(1)）处的切线与g(x)的图像相切，求实数b的值
②设h(x)=f(x)+g(x)若函数h(x)在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围

Answer 1

解：1.函数f(x)的图像在点（1，f(1)）处的切线方程,由导数的几何意义得：
y-f(1)=f'(1)(x-1).即y-0=1(x-1),化简得：y=x-1.它和g(x)的图像相切，
所以它们只有一个交点。即方程组﹛y=x-1，y=1/2x²-bx有且只有一个解，
所以x-1=1/2x²-bx有两个相等的根，即△=0，
解得：b=1±根号2
2.h(x)=f(x)+g(x)=Inx+1/2x²-bx x ∈﹙0，+∞﹚，h'(x)=1/x +x-b . x ∈﹙0，+∞﹚，
h(x)在定义域上存在单调减区间,即1/x +x-b<0在﹙0，+∞﹚上有解。1/x +x<b，
令u（x）=1/x +x,易得，u（x）在（0，1）为减函数，在﹙1，+∞﹚上为增函数，
所以u（x）的最小值是u（1）=2，
所以b>2

Answer 2

f(x)的图像在(1,f(1))处切线好求如下

求f(x)在x=1处的切线斜率

f'(x)=1/x

f'(1)=1

f(x)的图像在(1，f(1))处切线方程

f(1)=ln1=0

k=1

y=x-1

g(x)的切线斜率k=1的点不一定在x=1处

若在x=1处则f(x)与g(x)直接相切

所以先求g’(x)=1时x值

再将该点的x,y值代入切线方程中解得所求

如下：

g'(x)=x-b

令g'(x)=f'(1)

x-b=1

x=b+1

g(x)在x=b+1处的切线方程为y=x-1

代入(b+1,g(b+1))

(b+1)²/2-b(b+1)=(b+1)-1

(b+1)²-2b(b+1)=2b

b²+2b+1-2b²-2b=2b

b²+2b-1=0

b=-1±√2

(2)h(x)=lnx+1/2x^2-bx,
h'(x)=1/x+x-b=(x^2-bx+1)/x,(x>0)
在X>0上存在单调减区间,即有在X>0上存在有h'(x)<0.
即设w(x)=x^2-bx+1<0
b>x+1/x>=2
即有范围是b>2.