Question

已知函数f(x)=lnx,g(x)=1/2x^2-bx (1)函数f(x)的图像在（1，f(1)）处切线与函数g(x)的 图像相切,求实数b值

已知函数f(x)=lnx,g(x)=1/2x^2-bx (1)函数f(x)的图像在（1，f(1)）处切线与函数g(x)的 图像相切,求实数b值 我感觉这道题很好做但我就是想不出来了…… 急啊

Answer 1

f（x）' =1/x
f（x）在（1， f（1））处的切线方程的斜率为1
切点为（1 ，0）
所以切线方程为y=x-1
切线与g（x）=1/2 x² -bx相切
那么x-1 =1/2x² -bx 只有一个交点
去分母整理得 x²-（2b+2）x +2 =0
判别式 （2b+2）²-4×2 =0
b=正负根号2 -1

Answer 2

f(x)的图像在(1,f(1))处切线好求如下

求f(x)在x=1处的切线斜率

f'(x)=1/x

f'(1)=1

f(x)的图像在(1，f(1))处切线方程

f(1)=ln1=0

k=1

y=x-1

 

g(x)的切线斜率k=1的点不一定在x=1处

若在x=1处则f(x)与g(x)直接相切

所以先求g’(x)=1时x值

再将该点的x,y值代入切线方程中解得所求

如下：

 

g'(x)=x-b

令g'(x)=f'(1)

x-b=1

x=b+1

 

g(x)在x=b+1处的切线方程为y=x-1

代入(b+1,g(b+1))

(b+1)²/2-b(b+1)=(b+1)-1

(b+1)²-2b(b+1)=2b

b²+2b+1-2b²-2b=2b

b²+2b-1=0

b=-1±√2