Question

如何求矩阵的最小多项式

Answer 1

求极小多项式本质上和求初等因子组或者Jordan标准型是等价的。
如果这些概念知道，那么看一下教材就明白了。
如果都不知道，那么这样：
先求出所有的特征值及其代数重数。假定不同特征值为c1,c2...,ck，那么极小多项式一定是
p(x)=(x-c1)^a1(x-c2)^a2...(x-ck)^ak
的形式，关键在于定次数。
对于单特征值c，那么对应的指数就是a=1。
对于重特征值c，去求它的广义特征向量，也就是说解(cI-A)^mx=0，m从1开始向上增加，直到(cI-A)^mx=0线性无关的解的个数和特征值的重数相同，那么a=m。换句话说，就是使得(cI-A)^mx=0线性无关的解的个数和特征值的重数相同的最小的m。

Answer 2

先求出所有的特征值及其代数重数.假定不同特征值为c1,c2...,ck,那么极小多项式一定是
p(x)=(x-c1)^a1(x-c2)^a2...(x-ck)^ak
的形式,关键在于定次数.
对于单特征值c,那么对应的指数就是a=1.
对于重特征值c,去求它的广义特征向量,也就是说解(ci-a)^mx=0,m从1开始向上增加,直到(ci-a)^mx=0线性无关的解的个数和特征值的重数相同,那么a=m.换句话说,就是使得(ci-a)^mx=0线性无关的解的个数和特征值的重数相同的最小的m.