Question

sinx的n次方定积分的递推公式是什么 可以的话给我推导公式

Answer 1

那这样的函数到底有没有周期呢？
很多同学乍一看，觉得应该是有的，实际没有。
因为对于任何的正弦三角函数y=sinx都是可以变成y=sin(x+2π)的，而无论x取何时的时候，都可以将其看成一个锐角的形式，根据三角函数恒等变形都是可以加上或者减去2π或者2π的整数倍的单位的，即y=sinπx=sin(πx+2π)。
所以很多同学就会将f(x)=sinx+sinπx直接写成是f(x+2π)=sin(x+2π)+sin(πx+2π)=f(x)，从而得出错误的结论，认为有周期。
那这样的解法，错在哪了？
这样的解法错误就在f(x+2π)≠sin(x+2π)+sin(πx+2π)，而f(x+2π)=sin(x+2π)+sin(πx+2π^2)——没有将x+2π完全的替换x，即sinπx中的x替换x+2π后是sinπ(x+2π)，而不是sin(πx+2π)。
所以上述将解法并不能说明函数f(x)是周期函数。
那该怎么判断呢？
下面就讲解题的过程中仔细说明。
判断函数是不是奇函数。
像这样的题，首先要判断该函数的定义域是不是关于原点对称，然后再判断其他——这也是大家容易出错的地方，不是你不会，而是会了得不到分。
当该函数关于原点对称后，判断函数f(x)和f(－x)的关系即可。
所以我们直接令 x=－x代入函数f(x)当中，则有f(－x)=sin(－x)+sin(－πx)=－(sinx+sinπx)=－f(x)。
所以函数f(x)满足定义域对称，满足f(－x)=－f(x)，所以函数f(x)是奇函数。是需要判断该函数f(x)是不是周期函数。
这样的题该怎么判断呢？
这样的题需要各自得出函数y=sinx和y=sinπx的周期的集合，看着这两个集合是否存在着交集，如果存在即有周期，如果不存在，则没有周期。
具体步骤如下：
第一步，得出函数y=sinx的周期的集合。
设函数y=sinx的周期为T1，根据三角函数周期公式T1=2kπ/ω，k∈Z，ω=1，则T1的集合为{T1|T1=2kπ,k∈Z}。
第二步，得出函数y=sinπx的周期的集合。
设函数y=sinπx的周期为T2，根据三角函数周期公式T2=2nπ/ω，n∈Z，ω=π，则T2的集合为{T2|T2=2n,n∈Z}。
第三步，将两个集合取交集。
{T1|T1=2kπ,k∈Z}∩{T2|T2=2n,n∈

Answer 2

用分部积分法
cosx的n次方推导方法相同
详细过程如图

Answer 3

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乡村农夫
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求解sinx的n次方积分 原创
2020-02-19 02:47:48

乡村农夫

码龄6年

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我自己再看这篇博文时，感觉没多大营养，加上还有不少同学查看了这边博文，怕影响到大家。本想删除却又于心不忍，点击进来的同学，Wallis公式是否是你想学习的内容。

似乎若能求解sinx的n次方积分的精确值，就能就出n阶乘的精确值。这个精确值很难求，但是还是能求出非常接近的值。

当n趋向正无穷时，我们令：

现在我们的目标是求kn的值。我们有:

这样就能求出kn的近似值，根据下图解出kn的值：

这个kn误差还是比较大，可以改进一下，根据下图解出的kn更接近一些：

这个kn还是有较大误差，似乎没有更好的kn求解办法了。

kn的表达式是这个，如果想求更精准的sinx的n次方积分，可以根据这个式子算kn：

补充一个题外话，根据kn的表达式，可以更一般跟有意思的摇摆表达式：

可以求出一些特殊的f(x)值：