Question

设F1和F2分别是椭圆x²/9+y²/4=1的左焦点又焦点，A是该椭圆与Y轴负半轴的交点，子啊椭圆上求点P

Answer 1

因为｜pf1｜,｜pa｜,｜pf2｜成等差数列，所以有|pf1|+|pf2|=2|pa|,而|pf1|+|pf2|=2a=4,所以有|pa|=2,因为椭圆的短轴长为2，所以p点有一种情况就是椭圆和y轴正半轴的交点，此时p点坐标为（0，1），当p点不是此点时，那么直线pa的斜率就应是有限的，设为k，那么直线方程为y+1=kx，即y=kx-1代入到椭圆方程中得到，p点横坐标为8k/（4k^2+1),而pa的距离为√（k^2+1)*8|k|/(4k^2+1)=2，得到k^2=1/8,即有k=√2/4,k=-√2/4,所以有p点坐标为（4√2/3，-1/3），（-4√2/3，-1/3）所以有p点就有这三种情况。

Answer 2

设椭圆上的点P(x,y)，
∵|PF1|、|PA|、|PF2|成等差数列，
∴2|PA|=|PF1|+|PF2|=2a=6
∴|PA|=3，即|PA|²=9
∵A(0,-2)，∴(x-0)²+(y+2)²=9，即x²+(y+2)²=9，
两边同除以9，得x²/9+(y+2)²/9=1①，
又∵x²/9+y²/4=1②，
∴②-①，得(y+2)²/9-y²/4=0，可求得y=4或y=-4/5，
又-2≤y≤2，∴y=4舍去，
当y=-4/5时，x=±3√21/5，
故P(3√21/5,-4/5)或P(-3√21/5,-4/5)。