Question

Y=sinX/(sinX+2)的值域

Answer 1

解法一：
y=sinx/(sinx+2)
=(sinx+2-2)/(sinx+2)
=1
-2/(sinx
+2)
-1≤sinx≤1
1≤sinx+2≤3
⅔≤2/(sinx
+2)≤2
-1≤1
-2/(sinx
+2)≤⅓
-1≤y≤⅓
函数的值域为[-1，⅓]
解法二：
整理，得(y-1)sinx=-2y
若y=1，则等式变为0=-2，等式恒不成立，因此y≠1
sinx=-2y/(y-1)
-1≤sinx≤1
-1≤-2y/(y-1)≤1
-1≤2y/(y-1)≤1
4y²/(y-1)²≤1
4y²≤(y-1)²
整理，得3y²+2y-1≤0
(y+1)(3y-1)≤0
-1≤y≤⅓
函数的值域为[-1，⅓]
总结：
1、采用了两种截然不同的解法，过程不同，结果是一致的。
2、第一种方法是直接分析法，由sinx的取值范围，层层推导
3、第二种方法是用y表示sinx，再由sinx的取值范围列出关于y的不等式，解不等式。
4、两种方法都是求解值域的常用方法，要根据实际情况，选取最简便快捷的方法解题。