Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π，在一周期内，...

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π，在一周期内，当x=π12时，y取得最大值3，当x=7π12时，y取得最小值-3，求： （1）函数的解析式； （2）求出函数f（x）的单调递增区间与对称轴方程，对称中心坐标； （3）当x∈[-π12，π6]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

解：（1）∵在一周期内，函数当x=π12时取得最大值3，当x=7π12时取得最小值-3．
∴正数A=3，周期T满足T2=7π12-π12=π2，得T=π，∴ω=2πT=2
因此，函数表达式为f（x）=3sin（2x+φ），
将点（7π12，-3）代入，得-3=3sin（2×7π12+φ），即sin（2×7π12+φ）=-1
∴7π6+φ=-π2+2mπ，m∈Z
∵|φ|＜π，∴取m=1，得φ=π3
综上所述，f（x）的解析式为f（x）=3sin（2x+π3）
（2）令-π2+2kπ＜2x+π3＜π2+2kπ，解得-5π12+kπ＜x＜π12+kπ，k∈Z
∴函数f（x）
的单调增区间为（-5π12+kπ，π12+kπ），k∈Z
由2x+π3=π2+kπ，解得x=π12+kπ2，k∈Z
∴函数图象的对称轴方程为x=π12+kπ2，k∈Z．
由2x+π3=kπ，解得x=kπ2-π6，k∈Z
∴函数f（x）的对称中心坐标为（kπ2-π6，0）（k∈Z）；
（3）∵x∈[-π12，π6]，
∴2x+π3∈[π6，2π3]，可得12≤sin（2x+π3）≤32
即得32≤3sin（2x+π3）≤332
因此，函数f（x）=3sin（2x+π3）的值域为[32，332]．