Question

已知函数f（x）=-x3+ax2+b，其中a，b∈R．（1）若函数f（x）在（0...

已知函数f（x）=-x3+ax2+b，其中a，b∈R． （1）若函数f（x）在（0，2）上单调递增，求实数a的取值范围． （2）当x∈（0，1]时，y=f（x）图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，且0≤θ≤π4，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）f′（x）=-3x2+2ax，要使f（x）在（0，2）上单调递增，
则f′（x）≥0在（0，2）上恒成立，（2分）
∵f′（x）是开口向下的抛物线，
∴f′(0)≥0f′(2)=-12+4a≥0，∴a≥3．（6分）
（2）∵0≤θ≤π4，∴tanθ=-3x2+2ax∈[0，1]．
据题意0≤-3x2+2ax≤1在（0，1]上恒成立，（9分）
由-3x2+2ax≥0，得a≥32x，a≥32，（11分）
由-3x2+2ax≤1，得a≤32x+12x．
又32x+12x≥3（当且仅当x=33时取“=”），
∴a≤3（13分）
综上，a的取值范围是32≤a≤3．（14分）