Question

已知函数.当时,求函数的单调递增区间;当且时,函数的值域是,求的值.

已知函数. 当时,求函数的单调递增区间; 当且时,函数的值域是,求的值.

Answer 1

把函数解析式括号中的第一项利用二倍角的余弦函数公式化简,再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数,
把代入化简后的函数解析式中,根据正弦函数在时单调递增,列出关于的不等式,求出不等式的解集即为函数的单调递增区间;
由的范围,求出这个角的范围,根据正弦函数的图象与性质得到正弦函数的值域,根据小于,由正弦函数的最大值及最小值表示出函数的最大值及最小值,得到关于与的方程组,求出方程组的解集得到与的值,进而求出的值.
解:
,(分)
当时,,
当时,是增函数,
解得:,
则函数的单调递增区间为;(分)
由,得到,
,(分)
,当时,取最小值,即,
当时,取最大值,即,
将代入式,解得,
则.(分)
此题考查了二倍角的余弦函数公式,两角和与差的正弦函数公式,正弦函数的定义域与值域,以及正弦函数的单调性,利用三角函数的恒等变换把函数解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键.