Question

3.已知,,. (Ⅰ)求f(x)的最小正周期及单调递减区间; (Ⅱ)求函数f(x)在区间的最

已知函数 （ Ⅰ ）求函数 f （ x ）的最小正周期与单调递减区间； （ Ⅱ ）求函数 f （ x ）在区间 上的最大值和最小值．

Answer 1

【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象． 【分析】 （ Ⅰ ）由三角函数化简可得 f （ x ） =2sin （ 2x + ） + 3 ，由周期公式可得，解不等式 2kπ + ≤ 2x + ≤ 2kπ + 可得单调递减区间； （ Ⅱ ）由 x ∈ 结合三角函数的性质逐步计算可得 2sin （ 2x + ） + 3 ∈ [ 2 ， 5 ] ，可得最值． 【解答】 （ Ⅰ ）化简可得 = •2sinxcosx + 2cos 2 x + 2 = sin2x + cos2x + 1 + 2 =2sin （ 2x + ） + 3 ， ∴ 函数 f （ x ）的最小正周期 T= =π ， 由 2kπ + ≤ 2x + ≤ 2kπ + 可得 kπ + ≤ x ≤ kπ + ∴ 函数的单调递减区间为 [ kπ + ， kπ + ] （ k ∈ Z ）； （ Ⅱ ） ∵ x ∈ ， ∴ 2x + ∈ [ ， ] ， ∴ sin （ 2x + ） ∈ [ ， 1 ] ， ∴ 2sin （ 2x + ） ∈ [ ﹣ 1 ， 2 ] ， ∴ 2sin （ 2x + ） + 3 ∈ [ 2 ， 5 ] ， ∴ 函数的最大值和最小值分别为 5 ， 2 ． 【点评】 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和单调性及最值，属中档题．