Question

设a，b是正整数，证明：若ab-1是3的倍数，则a与b被3除的余数相同，我仅仅证到ab是3的倍数？

请问到底怎么证明啊，已经困扰我好久了，如能解答，万分感谢

Answer 1

已知a,b为整数.证明a,b,a+b,a-b这四者中至少有一个为3的倍数如题，你可以用反证法 若设a,b,a+b,a-b这四者中没有为3的倍数 则若a,b同时除3余1或余2,则a-b为三的倍数,假设不成立 若a,b中一个除三余1,一个除三余2 则a+b为三的倍数,假设不成立 综上,假设不成立 则a,b为整数.证明a,b,a+b,a-b这四者中至少有一个为3的倍数。

余数指整数除法中被除数未被除尽部分，且余数的取值范围为0到除数之间的整数，是数学用语。

在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，取余数运算：a mod b = c(b不为0） 表示整数a除以整数b所得余数为c，如：7÷3 = 2 ······1。

Answer 2

假设a与b被3除余数相同，设余数为n，
a可以表示为3x+n，b可以表示为3y+n
(3x+n)(3y+n)-1
=9xy+3xn+3yn+n²-1
因为是除以3，所以余数只能是1、2。无论是1或者2，n²-1都是3的倍数。
所以a与b除以3余数相同，ab-1是3的倍数。反之ab-1是3的倍数，a与b除以3余数相同。

Answer 3

首先，a,b均不是3的倍数
所以a=3m±1
b=3n±1
当a,b同时取相同的加减符号(即除以三的余数相同时)时，ab-1才是3的倍数
即:(3m+1)(3n+1)-1=3(3mn+m+n)
是三的倍数
(3m-1)(3n-1)-1=3(3mn-m-n)也是3的倍数
(3m+1)(3n-1)-1=3(3mn-m+n)-2不是三的倍数
(3m-1)(3n+1)-1=3(3mn+m-n)-2也不是三的倍数。