Question

关于大学数学分析的提问：如图题及解答，第二个证明为什么不对啊？求解答谢谢！

Answer 1

诚然，f(x)=x^2 在任意有限的区间 [-l，l] 上都是一致连续的，
哪怕 l 的值非常巨大，结论也是正确的，因为 l 是常数。
但不能就此说在 （-∞，∞）上就是一致连续的，因为这是一种不固定的趋势，
这就像 1+1/2+1/3+...+1/n，只要 n 是常数，哪怕再大，和也是有限值，
但一旦到无穷，结果就成了无穷大。
你后面那一段，本质上仍是和前面一样的结论：在任意 [-l，l] 上一致连续。
但就是不能得出在（-∞，∞）上致连续。跟上面求和的例子一样的道理。
建议你用一致连续的定义，用反证法证明 f(x)=x^2 在（-∞，∞）上不是一致连续，
弄懂弄明白定义。
另外，一致连续是函数在区间上的整体属性，不能说在一点处一致连续。

Answer 2

这个看一致连续的定义就可以了, 一致连续要求对任何的epsilon, 存在与x,y无关的delta, 这里在区间[-l,l]上确实存在这样的delta, 但是要注意delta和l有关, 当你让l->+oo时delta就未必可以取到与l无关了, 其实也就暗含了delta和x,y有关. 逻辑上就是这样.
如果要直观上看, 对于f(x)=x^2这个函数, 其导数是无界的, 当l增大时delta必须逐步减小, 以至于对(-oo,+oo)找不到满足要求的delta.

追问

但函数在我任取的负无穷到正无穷上的点相应的-l到l上一致连续，不就说明在该区间上的delta与x无关吗？进而说明在该点与delta无关（即一致连续）？这个点的任意性是哪里用的不对？求解答谢谢！

追答

delta与l有关, 也就是说取x和y的时候和它们落到哪个[-l,l]有关系, 无法在取x和y之前事先给定一个delta(因为无法事先给定l)