Question

a.b均为正实数,有a(a+2b)=9.求a^5b的最大值

Answer 1

a(a+2b)=9
所以b=(9/a-a)/2,
设x=a^(5b),则
(1/5)lnx=blna=(9/a-a)/2*lna,记为f(a),0<a<3,
f'(a)=(-9/a^2-1)/2*lna+(9/a^2-1)/2
=9(1-lna)/(2a^2)-(1+lna)/2,
令f'(a)=0得lna=(9/a^2-1)/(9/a^2+1)=(9-a^2)/(9+a^2)>0,a>1.
设g(a)=(9-a^2)/(9+a^2)-lna,
g(2)=-0.308,
g(1,5)=0.194,
g(1.7)=-0.016
g(1.69)=-0.00652
g(1.68)=0.00373,
g(1.683)=0.000657,
g(1.684)=-0.000369
f'(a)的零点a0约为1.684,此时b≈1.8302，
a^(5b)的最大值≈1.684^9.151≈117.83，
仅供参考。

Answer 2

a、b均为正实数，有a(a+2b)=9，求(a^5)*b的最大值。
9=a(a+2b)=a^2+2ab=a^2/2+a^2/2+2ab
>=3*3次根号[(a^2/2)*(a^2/2)*(2ab)]
>=3*3次根号[(a^2/2)*(a^2/2)*(2ab)]
=3*3次根号[(a^5)*b/2]
9^3>=3^3*[(a^5)*b]/2
∴ [(a^5)*b]max=54
此时 a^2/2=2ab，a=4b，24b^2=9，b=____，a=____.