Question

如图,点P是等边△ABC内的一点,分别连接PA,PB,PC以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP,连接CQ。

（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的论证;
(2)若PA:PB:PC=3:4:5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理
由。
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Answer 1

1）相等
∵等边△ABC
∴AB = BC，∠ABC = 60°
∵∠PBQ = 60°
∴∠ABP = ∠CBQ
∵BP = BQ
∴△ABQ≌△CBQ
∴AP = CQ

2）直角三角形
证明：
∵∠PBQ = 60°，BP = BQ
∴△BPQ是等边三角形
∴PQ = BP
∵AP = CQ（第一题结论）
∴CQ：PQ：PC = PA:PB:PC=3:4:5
∴满足CQ²+PQ²=PC²
∴△PQC是直角三角形