Question

已知a＞0，函数f(x)=x｜x-a｜+1（x∈R）

（1）当a=1时，求所有使f(x)=x成立的x的值；
（2）当a∈(0,3)时,求函数f(x)在闭区间[1,2]上的最小值；
（3）试讨论关于x的方程f(x)=a的根的个数。

Answer 1

（1）当a=1时，求所有使f(x)=x成立的x的值；
解：f(x)=x｜x-1｜+1
1，当x>=1时，f(x)=x^2-x+1
使f(x)=x，则x^2-2x+1=0，即x=1，满足条件。
2，当x<=1时，f(x)=-x^2+x+1
使f(x)=x，则-x^2+1，即x=1和-1，满足条件
所以所有使f(x)=x成立的x的值是1和-1

（2）当a∈(0,3)时,求函数f(x)在闭区间[1,2]上的最小值；
解：f(x)=x｜x-a｜+1
当x>a时，f(x)=x^2-ax+1
当x<a时，f(x)=-x^2+ax+1
其中x=a时，y=1（这是一个定点）
根据以上的表达式LZ自己画个图。然后对照图看我的解答。
1，如果0<a<=1那么最小值是2-a
2, 如果2>a>1那么最小值是1
3, 如果3>a>2那么最小值是3a-8

（3）试讨论关于x的方程f(x)=a的根的个数。
解：f(x)=x｜x-a｜+1
当x>a时，f(x)=x^2-ax+1
当x<a时，f(x)=-x^2+ax+1
其中x=a时，y=1（这是一个定点）
1，如果a<1时，f(x)=a的根的个数是1个
2，如果a=1或2时，f(x)=a的根的个数是2个
3，如果a>1且不等于2时，f(x)=a的根的个数是3个

这个题目相对比较复杂！楼主还需自己仔细想想，中间有些细节内容我省略了。