Question

已知α,β都是锐角,且sinαcos(α+β)=sinβ,当tanβ取最大值时，求tan(α+β)的值

Answer 1

∵sinαcos(α+β)=sinβ=sin(α+β-α)
sinαcos(α+β)=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα
∴2cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα
两边同除cos(α+β)cosα
∴2tanα=tan(α+β)
设tanα=t,tan(α+β)=2t
tanβ=[tan(α+β)-tanα]/[1+tan(α+β)tanα]
=(2t-t)/(1+2t*t)
=t/(1+2t*t)=1/(1/t+2t)
当1/t=2t即t=√2/2时
tanβ取最大值，
tanβ=1/2√2=√2/4，tan(α+β)=2t=√2

Answer 2

由sinαcos(α+β)=sinβ，得到：sinα(cosαcosβ-sinαsinβ)=sinβ;
sinαcosαcosβ-sin²αsinβ=sinβ,sinαcosαcosβ=(sin²α+1)sinβ,
tanβ=sinαcosα/(1+sin²α)
=sinαcosα/(cos²α+2sin²α)(本步采用分子分母同除以cos²α的方法，变弦为切)
=tanα/(1+2tan²α)=1/[2tanα+(1/tanα)],
因为2tanα+(1/tanα)>=2√2,所以tanβ<=1/(2√2)=√2/4,
所以tanβ最大值是tanβ=√2/4,当tanβ取得最大时，则：2tanα=(1/tanα)
得到：tan²α=1/2,tanα=√2/2;
所以：tan(α+β)=（tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=（√2/2+√2/4)/(1-1/4)=√2;
即：tan(α+β)=√2。