Question

四边形ABCD,向量AB=(6,1)，向量BC=(x,y)，向量CD=(-2,-3)(1) 若向量BC平行于向量DA，试求x与y满足的关系式

四边形ABCD,向量AB=(6,1)，向量BC=(x,y)，向量CD=(-2,-3)(1) 若向量BC平行于向量DA，试求x与y满足的关系式.(2) 满足（1）的同时又有向量AC垂直于向量BD，求x，y的值及四边形ABCD的面积

Answer 1

（1）依题意，我们不妨设向量DA=（m，n）
因为是四边形 所以有AB+BC+CD+DA=0（均指向量），
所以AB+BC+C =-DA，根据向量坐标运算可知
（6,1）+（x，y）+（-2.，-3)=(-m,-n）
所以可得4+x=-m y-2=-n
又因为BC平行于DA 即x*n=y*m
联立两式可解得 2y+x=0

（2）由题意 AC=BC-BA BD=CD-CB
带入已知条件可得AC=(x+6,y+1）BD=（x-2，y-3)
因为AC垂直于BD 所以（x+6)*(x-2)+（y+1)*y-3)=0
在（1）中已知2y+x=0 带入解得
x1=-6 x2=2
y1=3 y2=-1

Answer 2

AD=(6+x-2,1+y-3)=(x+4,y-2)
因AD平行于BC
所以(x+4)/x=(y-2)/y
y=-x/2

AC=(6+x,1-x/2)
BD=(x-2,-x/2-3)
AC*BD=(6+x,1-x/2)*(x-2,-x/2-3)=0
根据上式可得x,y
面积等于AC,BD模的积的一半