Question

已知四边形ABCD中，向量AB=(6，1)，向量BC=(x,y)，向量CD=(-2,-3)

⑴若向量BC平行向量DA求y=f(x)的解析式
⑵在⑴的条件下，若向量AC⊥向量BD,求x,y的值以及四边形ABCD的面积

Answer 1

1）依题意，我们不妨设向量DA=（m，n）
因为是四边形 所以有AB+BC+CD+DA=0（均磨扒歼指向量），
所此卖以AB+BC+C =-DA，根据瞎冲向量坐标运算可知
（6,1）+（x，y）+（-2.，-3)=(-m,-n）
所以可得4+x=-m y-2=-n
又因为BC平行于DA 即x*n=y*m
联立两式可解得 2y+x=0

（2）由题意 AC=BC-BA BD=CD-CB
带入已知条件可得AC=(x+6,y+1）BD=（x-2，y-3)
因为AC垂直于BD 所以（x+6)*(x-2)+（y+1)*y-3)=0
在（1）中已知2y+x=0 带入解得
x1=-6 x2=2
y1=3 y2=-1

Answer 2

(1)向量BC=(x,y)，向量DA=(8,4),向搏樱量BC平行向量DA
4x-8y=0 ,y=1/2x ,向量BC=(x,x/2)，
(2)向量AC=向量AB+向量BC=(6+x,1+x/2)
向量BD=向量BC+向量CD=(x-2,x/2-3)
向量AC⊥向量基埋丛BD,(6+x)(x-2)+(1+x/2)(x/2-3)=0
x1=-2,x2=6,y1=-1,y2=3
向量BD=(-4,-4)或(4,0),|BD|=√2*4²=4√2(或4)
向量AC=(4,0)或(12,4),|AC|=4(或4√10)

S四边形ABCD的面积=1/液斗2|BD|*|AC|=1/2*4√2*4=8√2(或8√10)