Question

（2013•东营）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点

A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．

Answer 1

(1)∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA＝∠CEA=90°，
∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，
又AB=AC ，∴△ADB≌△CEA，
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD= BD+CE 。
(2)∵∠BDA =∠BAC=α ，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°-α，
∴∠DBA=∠CAE，
∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC，
∴△ADB≌△CEA，
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE。
（3）由（2）知，△ADB≌△CEA，
BD=AE，∠DBA =∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF=∠CAF=60°，
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF=∠FAE，
∵BF=AF
∴△DBF≌△EAF，
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，
∴△DEF为等边三角形。