Question

如图①,已知直线y=x+b与y轴交于点C(0,3),与x轴交于点A,抛物线y=ax²+2a+c

过点C、A，且与x轴交于另一点B
（1）若点P喂抛物线上一动点，且点P位于直线AC上方，连接PA、PC，求△APC的面积的最大值
（2）如图②，将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴的下方，与原抛物线没有变化的部分构成一个新图像，过点B作直线l与新图像交于另外的两点M、N（点M在点N的左侧），是否存在这样的直线;，使得△ABM的面积被AN恰好评分？若存在，请求出直线l的函数关系式；若不存在请说明理由。

Answer 1

郭敦顒回答：
（1）抛物线“y=ax²+2a+c”，可能是抛物线“y=ax²+2ax+c”，以此作答——
C(0,3)代入 抛物线y=ax²+2ax+c得：
C(0,3)代入 直线y=x+b得，b=3，直线y=x+3，斜率k=1，y=0时，x=－3
∴A点坐标为A（－3，0），
将A（－3，0）和c=3代入y=ax²+2ax+c得，0=9a－6a+3，a=－1
抛物线为：y=－x²－2x+3，∴B点坐标为B（1，0），
抛物线的对称轴是：x=－1
点P为切点，切线的斜率k1=k=1，
作PK⊥AC于K，则PK的斜率k2=－1/k=－1，，
设P点坐标为P（x₁，y₁），设K点坐标为K（x₂，y₂），
PK的方程按点斜式有：y=－x－x₁ +y₁
P（x₁，y₁）代入y=－x²－2x+3得，y₁=－x₁²－2x₁+3
用尝试—逐步逼近法求解：
当x₁=－1.8时，y₁=3.56，
y=－x+x₁ +y₁=－x+1.76，y=－x+1.76，与y=x+3联立得
－x+1.76= x+3，2x=－1.24，
∴x₂=－0.62，y₂=x+3=2.38。
（y₁－y₂）/（x₁－x₂）=（3.56－2.38）/（－1.8+0.62）=－1.18/1.18=－1，
无误，一次性尝试对了（这是用尝试—逐步逼近法首次一次性尝试对），
PK=√[（x₁－x₂）²+（y₁－y₂）²]=√[1.18²+（－1.18）²]=1.18√2
AC=3√2，
maxS△PAC=AC•PK/2=（3√2•1.18√2）/2=3.54，
maxS△PAC=3.54。
（2）若△ABM的面积被AN恰好平分，则N为BM中点，
图②中在x的区间[－3，1]内抛物线的方程是：y=x²+2x－3，
顶点坐标是Q（－1，－4），B点坐标为B（1，0）
设N点坐标为N（x₄，y₄），设M点坐标为M（x₃，y₃）
用尝试—逐步逼近法求解：
当x₄=－1.0时，y₄=－4
BN=√[（1+1）²+（0+4）²]=2√5，
直线l的方程按两点式得，（y－0）/（x－1）=（0+4）/（1+1）=2，
y =2x－2，与y=－x²－2x+3联立得，
2x－2=－x²－2x+3， x²+4x－5 =0，
∴x₃=－5，（x=1，为点B坐标了）
∴y₃=2x－2=－10－2=－12
MN=√[（－5+1）²+（－12+4）²]=4√5；

当x₄=－2.0时，代入y=x²+2x－3得，y₄=－3.0
BN=√[（1+2.0）²+（0+3.0）²]=3√2=4.2426
直线l的方程按两点式得，（y－0）/（x－1）=（0+3.0）/（1+2.0）=1.0，
y =1.0x－1.0，与y=－x²－2x+3联立得，
1.0x－1.0=－x²－2x+3， x²+3.0x－4.0 =0，
∴x₃=－4.0，（x=1，为点B坐标了）
∴y₃=x－1. =－5.0，
MN=[（－4. +2）²+（－5. +3）²]=2√2=2.828；

当x₄=－1.6时，代入y=x²+2x－3得，y₄=－3.64
BN=[（1+1.6）²+（0+3.64）²]=4.4732，
直线l的方程按两点式得，（y－0）/（x－1）=（0+3.64）/（1+1.6）=1.4
y =1.4x－1.4，与y=－x²－2x+3联立得，
1.4x－1.4=－x²－2x+3， x²+3.4x－4.4=0，
∴x₃=－4.4，（x=1，为点B坐标了）
∴y₃=1.4x－1.4=－6.16－1.4=－7. 56，
MN=[（－4.4+1.6）²+（－7. 56+3.64）²]=4.817；

当x₄=－1.7时，代入y=x²+2x－3得，y₄=－3.51
BN=[（1+1.7）²+（0+3.51）²]=4.428，
直线l的方程按两点式得，（y－0）/（x－1）=（0+3.51）/（1+1.7）=1.2536
y =1.2536x－1.2536，与y=－x²－2x+3联立得，
1.2536x－1.2536=－x²－2x+3， x²+3.2536x－4.2536=0，
∴x₃=－4.2536，（x=1，为点B坐标了）
∴y₃=1.2536x－1.2536=－5.3322－1.2536=－6.586，
MN=[（－4.2536+1.7）²+（－6.586+3.51）²]=4.0；

当x₄=－1.66时，代入y=x²+2x－3得，y₄=－3.5644
BN=[（1+1.66）²+（0+3.5644）²]=4.4475，
直线l的方程按两点式得，（y－0）/（x－1）=（0+3.5644）/（1+1.66）=1.34
y =1.34x－1.34，与y=－x²－2x+3联立得，
1.34x－1.34=－x²－2x+3， x²+3.34x－4.34=0，
∴x₃=－4.34，（x=1，为点B坐标了）
∴y₃=1.34x－1.34=－5.8156－1.34=－7.1556，
MN=[（－4.34+1.66）²+（－7.1556+3.5644）²]=4.481；

当x₄=－1.68时，代入y=x²+2x－3得，y₄=－3.5376
BN=[（1+1.68）²+（0+3.5376）²]=4.4381，
直线l的方程按两点式得，（y－0）/（x－1）=（0+3.5376）/（1+1.68）=1.32
y =1.32x－1.32，与y=－x²－2x+3联立得，
1.32x－1.32=－x²－2x+3， x²+3.32x－4.32=0，
∴x₃=－4.32，（x=1，为点B坐标了）
∴y₃=1.32x－1.32=－5.7024－1.32=－7. 0224，
MN=[（－4.32+1.68）²+（－7.0224+3.5376）²]=4.372；

当x₄=－1.667时，代入y=x²+2x－3得，y₄=－3.5551
BN=[（1+1.667）²+（0+3.5551）²]=√19 .7517=4.4443，
直线l的方程按两点式得，（y－0）/（x－1）=（0+3.5551）/（1+1.667）=1.333
y =1.333x－1.333，与y=－x²－2x+3联立得，
1.333x－1.333=－x²－2x+3， x²+3.333x－4.333=0，
∴x₃=－4.333，（x=1，为点B坐标了）
∴y₃=1.333x－1.333=－5.7759－1.333=－7.1089，
MN=[（－4.333+1.667）²+（－7.1089+3.5551）²]=√19 .737=4.4426；
误差：4.4443－4.4426=0.0017

当x₄=－1.6668时，代入y=x²+2x－3得，y₄=－3.5554
BN=[（1+1.6668）²+（0+3.5554）²]=√19 .7525=4.4444，
直线l的方程按两点式得，（y－0）/（x－1）=（0+3.5554）/（1+1.6668）=1.3332
y =1.3332x－1.3332，与y=－x²－2x+3联立得，
1.3332x－1.3332=－x²－2x+3， x²+3.3332x－4.3332=0，
∴x₃=－4.3332，（x=1，为点B坐标了）
∴y₃=1.3332x－1.3332=－5.7771－1.3332=－7.1103，
MN=[（－4.3332+1.6668）²+（－7.1103+3.5554）²]=√19 .7467=4.4437；
误差：4.4444－4.4437=0.0007

当x₄=－1.6667时，代入y=x²+2x－3得，y₄=－3.5555
BN=[（1+1.6667）²+（0+3.5555）²]=√19 .7529=4.444，
直线l的方程按两点式得，（y－0）/（x－1）=（0+3.5555）/（1+1.6667）=1.3333
y =1.3333x－1.3333，与y=－x²－2x+3联立得，
1.3333x－1.3333=－x²－2x+3， x²+3.3333x－4.3333=0，
∴x₃=－4.3333，（x=1，为点B坐标了）
∴y₃=1.3333x－1.3333=－5.7776－1.3333=－7.1109，
MN=[（－4.3333+1.6667）²+（－7.1109+3.5555）²]=√19 .7515=4.444；
误差：4.444－4.443=0.000，
∴x₄=－1.6667，y₄=－3.5555，x₃=－4.3333，y₃=－7.1109，
直线l的方程为：y =1.3333x－1.3333。

Answer 2

(1)直线y=x+b过点C(0,3),∴b=3,
它与x轴交于点A(-3，0),
抛物线y=ax^2+2ax+c过A,C,
∴c=3,0=3a+3,a=-1.
∴抛物线的解析式是y=-x^2-2x+3,①它与x轴交于另一点B(1，0).
设P(p,-p^2-2p+3),-3<p<0,直线x=p交AC:y=x+3于D(p,p+3),
∴S△APC=(1/2)DP*(xC-xA)=(3/2)(-p^2-3p)=(-3/2)(p+3/2)^2+27/8,
∴△APC的面积的最大值=27/8.
(2)设l:y=k(x-1),②
代入①，x^2+(k+2)x-k-3=0,
x=1,或-k-3,
∴xM=-k-3,
将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴的下方,得到抛物线y=x^2+2x-3(-3<x<0)，③
把②代入③，x^2+(2-k)x+k-3=0,
x=1或k-3,
∴xN=k-3,
△ABM的面积恰好被AN平分，
<==>MN=NB,<==>k-3-(-k-3)=0-(k-3),<==>2k=3-k,<==>k=1,
∴直线l的函数关系式是y=x-1.