Question

已知a＞0,求函数y=x²+a+1/√(x²+a)的最小值

Answer 1

(1)当0<a≤1时, 1-a≥0,
依基本不等式得
y＝(x²+a+1)/√(x²+a)
＝√(x²+a)+1/√(x²+a)
≥2·√[√(x²+a)·1/√(x²+a)]
＝2,
∴所求最小值为：y|min＝2.
此时，
√(x²+a)＝1/√(x²+a)
→x＝±√(1-a) (0<a≤1).

(2)当a>1时，设t＝√(x²+a)≥√a,
则构造对勾函数f(t)＝t+1/t.
依对勾函数单调性,t∈[1,+∞)时递增，
f(t)≥f(√a)＝√a+1/√a.
∴所求最小值为：y|min＝√a+1/√a.
显然，此时x＝0。

注：
a>1时是不能用基本不等式的，
因为，取等时
√(x²+a)＝1/√(x²+a)→x²＝1-a<0。

Answer 2