Question

一个线性代数问题 若两个实对称矩阵的正负惯性指数相同，则两个矩阵是否合同？

一个线性代数问题
若两个实对称矩阵的正负惯性指数相同，则两个矩阵是否合同？

Answer 1

合同，两个实对称矩阵的正负那么这两个实对称矩阵一定是合同的。因为两个实对称矩阵合同的充要条件是两个实对称矩阵具有相同的秩和相同的正负惯性指数。

合同矩阵，在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。两个矩阵A和B是合同的，当且仅当存在一个可逆矩阵 C，使得C^TAC=B，则称方阵A合同于矩阵B。

每个对称矩阵都合同于一个对角线上元素只由0和1、-1构成的对角矩阵。如果设1的个数是p，-1的个数是q，那么给定(p，q)后，就确定了一个关于合同关系的等价类。

数对(p，q)称为一个对称矩阵（或相应二次型）的惯性指数，其中1的个数p称为正惯性指数， -1的个数q称为负惯性指数， p-q叫做符号差。

扩展资料：

惯性指数相关定理：

1、两个二次型可以用可逆线性变量替换互相转化的充分必要条件为它们的正，负惯性指数都相等。(即两个实对称矩阵合同的充分必要条件为它们的正，负惯性指数都相等。) 

2、 实对称矩阵A的正(负)惯性指数就是它的正(负)特征值的个数。

推论 两个实对称矩阵合同的充分必要条件是它们的正(负)特征值的个数都相等。

合同的性质：

合同关系是一个等价关系，也就是说满足：

1、反身性，任意矩阵都与其自身合同。

2、对称性，A合同于B，则可以推出B合同于A。

3、传递性，A合同于B，B合同于C，则可以推出A合同于C。

4、合同矩阵的秩相同。

矩阵合同的主要判别法：设A,B均为复数域上的n阶对称矩阵,则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同。

参考资料来源：百度百科-合同矩阵

参考资料来源：百度百科-惯性指数

Answer 2

若两对称阵的正负惯性指数相同，则它们的规范形是相同的，作任一对称阵合同于规范型，由合同关系的传递性知，这两个矩阵也是合同的。经济数学团队帮你解答。请及时评价。谢谢！

Answer 3

一定合同，因为两个实对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩和正惯性指数，这和有相同的
正负惯性指数是等价的。

追问

正负惯性指数不是秩的正负个数吗？

为什么知道个数就能确定秩了呢？

追答

正负惯性指数的和等于矩阵的秩，当正负惯性指数确定了时，正惯性指数和秩就都确定了。

追问

谢谢！！

追答

不客气