如图,在直角坐标系中,以(a,0)为圆心的O′与x轴交于C、D两点,与y轴交于A、B两点,连接AC.(1)点E

如图,在直角坐标系中,以(a,0)为圆心的O′与x轴交于C、D两点,与y轴交于A、B两点,连接AC.(1)点E在AB上,EA=EC,求证:AC2=AE?AB;(2)在(1... 如图,在直角坐标系中,以(a,0)为圆心的O′与x轴交于C、D两点,与y轴交于A、B两点,连接AC.(1)点E在AB上,EA=EC,求证:AC2=AE?AB;(2)在(1)的结论下,延长EC到F,连接FB,若FB=FE,试判断FB与⊙O′的位置关系,并说明理由;(3)如果a=2,⊙O′的半径为4,求(2)中直线FB的解析式. 展开
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维它命815
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解答:(1)证明:连接BC,∵EA=EC,
∴∠A=∠ACE,
∵AB⊥CD,
∴AC=BC,
∴∠A=∠ABC,
∴∠ACE=∠ABC,
∵∠A=∠A,
∴△ACE∽△ABC,
∴AC:AB=EC:AC,
∴AC2=AE?AB;

(2)解:连接O′B,BD,
∵FB=FE,
∴∠FBE=∠FEB,
∵∠ODB=∠BAC,
∵∠O′DB=∠O′BD,
∴∠A=∠ABC,
∴∠BEF=∠A+∠ACE,
∴∠FBC=∠O′BD,
∵∠DBC=90°,
∴∠O′BF=90°,
∴FB与⊙O′相切;

(3)解:O′B=
16?4
=2
3
,B(0,-2
3
),
∵DC⊥AB,
∴O为AB的中点,
即AO=OB=2
3

∴EA=EC=OA-OE,
设OE的长为x,则EC=2
3
-x,
在Rt△OCE中4+x2=(2
3
?x)2
,x=
2
3
3

过点F作FG⊥BE,
∵EB=OB+OE=2
3
+
2
3
3
=
8
3
3
,且FB=FE,
∴GB=
1
2
EB=
4
3
3
,∴OG=OB=GB=
2
3
3

∵OC∥FG,
OC
FG
=
EO
EG
,即
2
FG
=
2
3
3
4
3
3

解得FG=4,
∴F(-4,-
2
3
3
),
直线PB的解析式为y=kx+b,将B(0,-2
3
),F(-4,-
2
3
3
)代入得y=-
3
3
x-2
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