Question

二阶常系数齐次线性微分方程特解是怎么得到的

我想请教一下，x1,x2是这个二阶齐次线性方程的特解，它们是怎么得到的，看了下很多其他资料，都没发现，请教一下哪位大师可以回答一下啊

Answer 1

标准形式 y″+py′+qy=0

特征方程 r^2+pr+q=0

通解

1. 两个不相等的实根：y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)

2. 两根相等的实根：y=(C1+C2x)e^(r1x)

3. 共轭复根r=α+iβ：y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)
   标准形式 y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)
   

扩展资料：

微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。微分是函数改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一。

早在希腊时期，人类已经开始讨论「无穷」、「极限」以及「无穷分割」等概念。这些都是微积分的中心思想；虽然这些讨论从现代的观点看有很多漏洞，有时现代人甚至觉得这些讨论的论证和结论都很荒谬，但无可否认，这些讨论是人类发展微积分的第一步 。

直至十七世纪中叶，人类仍然认为微分和积分是两个独立的观念。就在这个时候，牛顿和莱布尼茨将微分及积分两个貌似不相关的问题，透过「微积分基本定理」或「牛顿－莱布尼茨公式」联系起来，说明求积分基本上是求微分之逆，求微分也是求积分之逆。这是微积分理论中的基石，是微积分发展一个重要的里程碑。

参考资料：百度百科：微分

百度百科：微分法

CSDN：微分和导数的关系是什么？

Answer 2

有两种方法：
第一种是套公式待定系数：方程右边如果是exp(ax)(Am1(x)cosx+Bm1(x)sinx)，则特解的形式为exp(ax)(Cm(x)cosx+Dm(x)sinx). 其中Am1指次数为m1的x的多项式，m=max{m1,m2}. 将该形式代入方程，确定出Cm和Dm。
这种方法技术含量低，普遍性差。
第二种是Laplace变换：将方程两边做Laplace变换，由变换公式L[y']=pL[y]+y(0)，微分方程将变成代数方程，解出L[y]，再将其反演，得到y
这种方法技术含量高，普遍性好，并且可以直接得到完整解，而不只是特解。

Answer 3

　　标准形式 y″+py′+qy=0
　　特征方程 r^2+pr+q=0
　　通解
　　1.两个不相等的实根：y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)
　　2.两根相等的实根：y=(C1+C2x)e^(r1x)
　　3.共轭复根r=α+iβ：y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)
　　标准形式 y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)
　　解法
　　通解=非齐次方程特解+齐次方程通解
　　对二阶常系数线性非齐次微分方程形式
　　ay''+by'+cy=p(x) 的特解y*具有形式
　　其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特征根、是单特征根或二重特征根（上文有提），依次取0,1或2. 将y
　　*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而得特解y*。

Answer 4

标准形式 y″+py′+qy=0
特征方程 r^2+pr+q=0
通解
1.两个不相等的实根：y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)
2.两根相等的实根：y=(C1+C2x)e^(r1x)
3.共轭复根r=α+iβ：y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)
标准形式 y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)
解法
通解=非齐次方程特解+齐次方程通解
对二阶常系数线性非齐次微分方程形式
ay''+by'+cy=p(x) 的特解y*具有形式
其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特征根、是单特征根或二重特征根（上文有提），依次取0,1或2. 将y
*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而得特解y*。

Answer 5

特征根方程
假设解是e^(r*t)
r是待定常数
代入可以得到
(r^2+k^2)e^(r*t)=0
r^2+k^2=0
r=ki,-ki
然后由欧拉公式
e^(ki)=cosk+isink
e^(-ki)=cosk-isink
x=A(cosk+isink)+B(cosk-isink)
整理即得
x=C1 cosk + C2 sink
然后任取一个为0，一个为1即可

追问

请问为什么假设解是e^(r*t)，能不能假设其他呢