Question

选修4-1：几何证明选讲如图，已知PA与⊙O相切于点A，PBC为⊙O的割线，弦CD∥AP，AD与BC相交于点E，F为CE

选修4-1：几何证明选讲如图，已知PA与⊙O相切于点A，PBC为⊙O的割线，弦CD∥AP，AD与BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2=EF?EC（I）求证：A、P、D、F四点共圆（II）若AE=6，DE=EB=4，求PA的长．

Answer 1

（I）证明：∵DE²=EF?EC，∴

DE

EC

＝

EF

DE

，
∵∠DEF=∠CED，∴△DEF～△CED，∴∠EDF=∠ECD，
又∵CD∥PA，∴∠ECD=∠P
∴∠P=∠EDF，∴A，P，D，F四点共圆；
（II）解：∵弦AD、BC相交于点E，∴DE?EA=CE?EB
∵AE=6，DE=EB=4，∴EC=6
∵DE²=EF?EC，∴EF=

8

3

由（Ⅰ）及相交弦定理得PE?EF=AE?ED，∴PE=9
∴PB=5，PC=15
∴PA²=PB?PC=75，即PA=5

3

．