Question

已知：如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O与BC交于点D,DE⊥AB,垂足为E,ED的延长线与AC的延长线交于点F

已知：如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O与BC交于点D,DE⊥AB,垂足为E,ED的延长线与AC的延长线交于点F. （1）求证：DE是⊙O的切线;（2）若⊙O的半径为4,BE=2,求∠F的度数.

Answer 1

（1）证明见解析;（2）∠F=30°．

试题分析：（1）如图,连结OD．欲证DE是⊙O的切线,只需证得OD⊥ED; （2）求出AE,证△AED∽△DEB,求出DE,解直角三角形求出∠B=60°=∠ACB,根据三角形外角性质求出即可． 试题解析：（1）如图,连接OD,AD． ∵AC是直径, ∴AD⊥BC, 又∵在△ABC中,AB=AC, ∴∠BAD=∠CAD,∠B=∠C,BD=CD, ∵AO=OC, ∴OD∥AB, 又∵DE⊥AB, ∴DE⊥OD, ∵OD为⊙O半径, ∴DE是⊙O的切线; （2）∵⊙O的半径为4,AB=AC, ∴AC=AB=4+4=8, ∵BE=2, ∴AE=8﹣2=6, ∵DE⊥AB,AD⊥BC, ∴∠AED=∠BED=∠ADB=90°, ∴∠DAE+∠ADE+∠BDE=90°, ∴∠DAE=∠BDE, ∵∠AED=∠BED, ∴△AED∽△DEB, ∴ , ∴ , 解得：DE=2 , 在Rt△BED中,tanB= , ∴∠B=60°, ∴∠CDF=∠EDB=30°, ∵AB=AC, ∴∠B=∠ACB=60°, ∴∠F=∠ACB﹣∠CDF=60°﹣30°=30°．